Teorija

1. Tjedan

-Lekcija: Struktura materije, mjerne jedinice i Coulombov zakon

---

1. Struktura materije i mjerne jedinice

1.1. Atom i osnovne čestice (proton, neutron, elektron)

Materija je izgrađena od atomskih elemenata. Svaki atom sastoji se od:

• Protona: čestica u jezgri atoma s pozitivnim električnim nabojem.
• Neutrona: čestica u jezgri atoma bez električnog naboja (neutralna).
• Elektrona: čestica izvan jezgre s negativnim električnim nabojem, koji “orbitira” oko jezgre.

Broj protona određuje atomski broj i identitet kemijskog elementa, dok broj neutrona u jezgri može varirati (izotopi). Elektroni su važni u elektrotehnici jer oni nose negativni naboj i mogu se “oslobađati” ili “kretati” kroz materijale.

1.2. Električni naboj i njegova priroda

• Električni naboj je fizička veličina koja opisuje stupanj elektrostatskog međudjelovanja neke čestice ili tijela.

• Naboj elektrona označavamo kao $-e$, a naboj protona kao $+e$, gdje je:

  $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19} \,\text{C}$ (kulona),

  što je elementarni naboj.

Privlačna i odbojna sila između nabijenih čestica ovisi o znamenitoj Coulombovoj interakciji. Čestice istog znaka naboja međusobno se odbijaju, a suprotnog znaka se privlače.

1.3. Pojam ionskih veza i slobodnih elektrona u vodičima

• Ionske veze nastaju kada atomi predaju ili primaju elektrone, pri čemu nastaju ioni (nabijeni atomi ili molekule).
• U metalnim vodičima, elektroni se mogu slobodno kretati kroz kristalnu rešetku metala. Ti slobodni elektroni omogućuju vodljivost električne struje, a upravo to svojstvo metala čini ih izvrsnim vodičima.

1.4. Mjerne jedinice u elektrotehnici

U elektrotehnici se često koriste sljedeće osnovne i izvedene jedinice:

1. Coulomb (C): mjerna jedinica za električni naboj.
2. Volt (V): mjerna jedinica za električni napon ili potencijalnu razliku.
3. Amper (A): mjerna jedinica za električnu struju (količina naboja koja prođe kroz presjek vodiča u jedinici vremena).
4. Ohm (Ω): mjerna jedinica za električni otpor.
5. Watt (W): mjerna jedinica za električnu (ili općenito) snagu.

1.5. SI sustav mjernih jedinica u elektrotehnici

• Mehaničke veličine (duljina, masa, vrijeme) imaju osnovne SI jedinice: metar (m), kilogram (kg), sekunda (s).
• Elektrotehničke veličine nadopunjuju se mjernim jedinicama amper (A), kelvin (K) (za termodinamiku), mola (mol) (količina tvari) i kandela (cd) (svjetlina).
• Sva elektrotehnička mjerenja počivaju na definiciji ampera i izvedenih jedinica (volt, ohm, coulomb, itd.).

---

2. Coulombov zakon

2.1. Povijest i značaj Coulombova zakona

• Charles-Augustin de Coulomb (1736.–1806.) bio je francuski fizičar koji je 1785. godine eksperimentalno ispitao zakon o međudjelovanju električnih naboja, koristeći torzijsku vagu.
• Coulombov zakon postavio je temelje elektrostatskog polja, slično kao što je Newtonov gravitacijski zakon temelj za gravitaciju.

2.2. Matematički izraz Coulombova zakona

Coulombov zakon kaže da je sila među točkastim nabojima $Q_1$ i $Q_2$, razdvojenim udaljenošću $r$, jednaka

$$F = k \frac{Q_1 \, Q_2}{r^2},$$

gdje je:

• $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 8.98755 \times 10^9 \,\text{N\,m}^2\!\big/\text{C}^2$
• $\varepsilon_0$ je dielektrična permitivnost vakuuma
• $Q_1$ i $Q_2$ su električni naboji (u coulombima)
• $r$ je udaljenost između naboja (u metrima)

Ovisno o znaku nabojâ, sila može biti privlačna (za suprotne naboje) ili odbojna (za istoimene naboje).

2.3. Pojam dielektrične konstante i utjecaj medija

Kada se naboji nalaze u drugom mediju (npr. vodi, zraku, ulju), Coulombov zakon modificira se u oblik:

$$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon} \cdot \frac{Q_1 Q_2}{r^2},$$

gdje je $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$:

• $\varepsilon_0$ – permitivnost vakuuma
• $\varepsilon_r$ – relativna (dielektrična) konstanta medija (bezdimenzijska)

Viša vrijednost $\varepsilon_r$ znači da se sila između naboja smanjuje (medij “ublažava” interakciju).

2.4. Primjena Coulombova zakona u elektrotehnici

• Proračun sila između nabijene čestice i elektrostatskog polja (npr. u kondenzatorima).
• Projektiranje električnih komponenata (kondenzatora, izolatora, razdjelnika napona) – razmatranje dielektrika.
• Analiza osnovnih fenomena poput “iskrenja” (probojna jačina medija), generatora Van de Graaffa i sl.

2.5. Grafička interpretacija električne sile između naboja

Ako prikažemo dva naboja $Q_1$ i $Q_2$ u prostoru, smjer i intenzitet sile mogu se prikazati vektorski:

• Veličina vektora proporcionalna je $\frac{Q_1 Q_2}{r^2}$.
• Smjer ovisi o znakovima naboja (privlače se ili odbijaju).

Taj grafički prikaz pomaže razumjeti raspodjelu polja i potencijalnih linija sila.

---

Zaključak

U ovoj smo lekciji obradili:

• Strukturu materije na razini atoma te kako nastaje električni naboj.
• Mjerne jedinice (C, V, A, Ω, W) i njihovu ulogu u SI sustavu.
• Coulombov zakon: njegovu matematičku formu, fizičku interpretaciju i važnost u elektrostatskim silama.

Vježbe

Auditorne vježbe iz Coulombova zakona

---

Kratki teorijski podsjetnik

Coulombov zakon u vakuumu za dva točkasta naboja $Q_1$ i $Q_2$ na udaljenosti $r$ glasi:

$$F = k\, \frac{Q_1\,Q_2}{r^2}, \quad \text{pri čemu je} \quad k \;=\; \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0} \;\approx\; 8.9875 \times 10^9 \;\frac{\mathrm{N\,m^2}}{\mathrm{C^2}}.$$

Ako se naboji nalaze u mediju s relativnom permitivnošću (dielektričnom konstantom) $\varepsilon_r$, Coulombov zakon uzima oblik:

$$F = \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r}\,\frac{Q_1\,Q_2}{r^2} \;=\; \frac{k}{\varepsilon_r}\,\frac{Q_1\,Q_2}{r^2}.$$

• Oznake:
  • $Q_1, Q_2$ su naboji (u Coulombima, C).
  • $r$ je međusobna udaljenost u metrima (m).
  • $\varepsilon_0 \approx 8{,}854 \times 10^{-12} \,\mathrm{F/m}$ je permitivnost vakuuma.
  • $\varepsilon_r$ (relativna permitivnost) je bezdimenzijska veličina, > 1 za dielektrike.
• Znak sile:
  • Ako su naboji suprotnog znaka, sila je privlačna.
  • Ako su naboji istog znaka, sila je odbojna.

---

Zadatak 1

Tekst: Dva točkasta naboja $Q_1 = 2\,\mu\mathrm{C}$ i $Q_2 = -3\,\mu\mathrm{C}$ nalaze se u vakuumu na međusobnoj udaljenosti $r = 0{,}15\,\mathrm{m}$.

1. Odredite veličinu Coulombove sile kojom međusobno djeluju.
2. Utvrdite je li sila privlačna ili odbojna.

Rješenje (korak po korak)

1. Identificiranje podataka

   • $Q_1 = 2\,\mu\mathrm{C} = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$
   • $Q_2 = -3\,\mu\mathrm{C} = -3 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$
   • $r = 0{,}15\,\mathrm{m}$
   • $k = \dfrac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 8{,}9875 \times 10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$

2. Primjena Coulombova zakona
   Veličina sile:

   $$F = k \,\frac{|Q_1|\,|Q_2|}{r^2} \;=\; 8{,}9875\times10^9 \;\frac{(2\times10^{-6})\,(3\times10^{-6})}{(0.15)^2}.$$

3. Numeričko izračunavanje

   • Isprednik: $(2\times10^{-6})\times(3\times10^{-6}) = 6\times10^{-12}$
   • Razmak na kvadrat: $(0.15)^2 = 0.0225$
   • Sila: $$F = 8{,}9875\times10^9 \;\times\;\frac{6\times10^{-12}}{0.0225}.$$ Prvo izračunajmo razlomak unutar množitelja: $$\frac{6\times10^{-12}}{0.0225} = 6\times10^{-12} \;/\; 2.25\times10^{-2} = \frac{6}{2.25} \times 10^{-12+2} = \frac{6}{2.25}\times10^{-10}.$$ $\frac{6}{2.25} = 2.666\ldots \approx 2.67$. Dakle: $$\approx 2.67 \times 10^{-10}.$$ Nadalje, $$F \approx 8{,}9875\times10^9 \times 2.67\times10^{-10} = 8{,}9875 \times 2.67 \times 10^{9 - 10} = 8{,}9875 \times 2.67 \times 10^{-1}.$$
     • $8{,}9875 \times 2.67 \approx 24.0$ (otprilike)
     • Pa množimo s $10^{-1} = 0.1$.
       $F \approx 24.0 \times 0.1 = 2.40 \,\mathrm{N}.$

   Ovisno o preciznosti, možemo zaokružiti na, primjerice, $F \approx 2.4\,\mathrm{N}$.

4. Smjer i priroda sile

   • Budući da su $Q_1$ i $Q_2$ suprotnih znakova ($+$ i $-$), sila je privlačna.

Konačan odgovor:
Sila ima veličinu otprilike $2.4\,\mathrm{N}$, a njezina priroda je privlačna (zbog raznoimenih naboja).

---

Zadatak 2

Tekst: Tri točkasta naboja nalaze se u vakuumu u ravnini, raspoređeni kako slijedi:

• $Q_1 = +4\,\mu\mathrm{C}$ na koordinatama $(x_1, y_1) = (0, 0)$.
• $Q_2 = +4\,\mu\mathrm{C}$ na koordinatama $(x_2, y_2) = (0.30\,\mathrm{m}, 0)$.
• $Q_3 = -2\,\mu\mathrm{C}$ na koordinatama $(x_3, y_3) = (0.30\,\mathrm{m}, 0.40\,\mathrm{m})$.

Odredite ukupnu Coulombovu silu koju na naboj $Q_3$ djeluju naboji $Q_1$ i $Q_2$. Zatim odredite veličinu i smjer ukupne sile (npr. u stupnjevima prema osi $x$).

Rješenje (korak po korak)

1. Pozicioniranje i udaljenosti

   • $Q_1$ se nalazi na $(0,0)$.
   • $Q_2$ se nalazi na $(0.30\,\mathrm{m}, 0)$.
   • $Q_3$ na $(0.30\,\mathrm{m}, 0.40\,\mathrm{m})$.

   Udaljenosti:

   • $r_{13} =$ udaljenost između $Q_1$ i $Q_3$: $$r_{13} = \sqrt{(0.30 - 0)^2 + (0.40 - 0)^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.50\,\mathrm{m}.$$
   • $r_{23} =$ udaljenost između $Q_2$ i $Q_3$: $$r_{23} = \sqrt{(0.30 - 0.30)^2 + (0.40 - 0)^2} = \sqrt{0 + 0.16} = 0.40\,\mathrm{m}.$$

2. Električni naboji u standardnim jedinicama

   • $Q_1 = Q_2 = +4\,\mu\mathrm{C} = +4 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$
   • $Q_3 = -2\,\mu\mathrm{C} = -2 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$
   • $k = 8.9875 \times 10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$.

3. Sila $\vec{F}_{13}$: Sila kojom $Q_1$ djeluje na $Q_3$

   • Formula: $$F_{13} = k\,\frac{|Q_1||Q_3|}{(r_{13})^2} = 8.9875\times10^9 \times \frac{(4\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{(0.50)^2}.$$
   • Numerički izračun: $$(4\times10^{-6})(2\times10^{-6}) = 8\times10^{-12}.$$ $(r_{13})^2 = (0.50)^2 = 0.25.$ $$F_{13} = 8.9875\times10^9 \times \frac{8\times10^{-12}}{0.25} = 8.9875\times10^9 \times \left(\frac{8}{0.25}\right)\times10^{-12}.$$ $\frac{8}{0.25} = 32$. $$F_{13} = 8.9875\times10^9 \times 32\times10^{-12} = (8.9875\times32)\times 10^{9-12} = 287.6 \times 10^{-3} = 0.288 \,\mathrm{N} \quad (\approx).$$
   • Smjer: budući da je $Q_1$ pozitivan, a $Q_3$ negativan, sila je privlačna — ide od $Q_3$ prema $Q_1$.
     • $\vec{r}_{13}$ (vektor od $Q_3$ do $Q_1$) je $(-0.30, -0.40)\,\mathrm{m}$ (ako gledamo ishodište u $Q_3$).
     • Normaliziramo ga za izračun smjera. No, možemo ostaviti u vektorskom obliku i na kraju sumirati.

   Dakle, vektorski:

   $$\vec{F}_{13} = F_{13}\,\hat{u}_{13},$$

   gdje je $\hat{u}_{13}$ jedinični vektor od $Q_3$ prema $Q_1$.

4. Sila $\vec{F}_{23}$: Sila kojom $Q_2$ djeluje na $Q_3$

   • Magnituda: $$F_{23} = k\,\frac{|Q_2||Q_3|}{(r_{23})^2} = 8.9875\times10^9 \times \frac{(4\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{(0.40)^2}.$$ $$(r_{23})^2 = (0.40)^2 = 0.16, \quad (4\times10^{-6})(2\times10^{-6}) = 8\times10^{-12}.$$ $$F_{23} = 8.9875\times10^9 \times \frac{8\times10^{-12}}{0.16} = 8.9875\times10^9 \times \left(\frac{8}{0.16}\right)\times 10^{-12}.$$ $\frac{8}{0.16} = 50$. $$F_{23} = 8.9875\times10^9 \times 50\times10^{-12} = (8.9875\times50)\times10^{-3} = 449.375\times10^{-3} \approx 0.449\,\mathrm{N}.$$
   • Smjer: $Q_2$ je pozitivan, $Q_3$ negativan → privlačna sila, ide u pravcu od $Q_3$ prema $Q_2$.

     • Vektor od $Q_3$ prema $Q_2$ (ako se polazište stavi na $Q_3$) je $(0.30-0.30, 0 - 0.40) = (0, -0.40)$. Zapravo, pažnja: to je $(0, -0.40)$ ako želimo točno “Q2 - Q3” = $(0.30,0)-(0.30,0.40)=(0, -0.40)$.

     • Magnituda smo našli, pa vektorski:

       $$\vec{F}_{23} = F_{23} \,\hat{u}_{23}.$$

5. Zbrajanje sila

   • Ukupna sila na $Q_3$:

     $$\vec{F}_{3}^\text{(uk)} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23}.$$

   • Ako želimo dobiti vektorski zbroj, trebamo u $\vec{F}_{13}$ i $\vec{F}_{23}$ uključiti odgovarajuće jedinične vektore.

   • Pojednostavimo**: umjesto detaljnog normaliziranja, možemo iskoristiti geometriju:

     Komponente:

     1. $\vec{F}_{13}$ ima smjer od $(0.30, 0.40)$ do $(0, 0)$.
        • Taj vektor je $(-0.30, -0.40)$.
        • Dugačak je $0.50$ m.
        • Jedinični vektor: $\hat{u}_{13} = \frac{1}{0.50}(-0.30, -0.40) = (-0.6, -0.8)$.
        • $F_{13} \approx 0.288\,\mathrm{N}$.
        • Dakle: $$\vec{F}_{13} = 0.288\,(\,-0.6,\,-0.8\,) = (-0.173, -0.230)\,\mathrm{N} \quad(\approx).$$
     2. $\vec{F}_{23}$: smjer od $(0.30,0.40)$ do $(0.30,0)$.
        • Taj vektor je $(0, -0.40)$.
        • Dugačak je $0.40$ m.
        • Jedinični vektor: $\hat{u}_{23} = (0, -1)$.
        • $F_{23} \approx 0.449\,\mathrm{N}$.
        • Dakle: $$\vec{F}_{23} = 0.449\,(0, -1) = (0, -0.449)\,\mathrm{N}.$$

   • Ukupan zbroj:

     $$\vec{F}_{3}^\text{(uk)} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23} = (-0.173, -0.230) + (0,\,-0.449) = (-0.173,\;-0.679)\,\mathrm{N}.$$

     Gdje smo zbrojili: $-0.230 + (-0.449) = -0.679$.

6. Veličina i smjer ukupne sile

   • Veličina: $$F_{\mathrm{uk}} = \sqrt{(-0.173)^2 + (-0.679)^2} = \sqrt{0.0299 + 0.4614} = \sqrt{0.4913} \approx 0.70\,\mathrm{N}.$$
   • Kut prema osi $x$ (obično se mjeri od +x-osi): $$\theta = \tan^{-1}\Bigl(\frac{-0.679}{-0.173}\Bigr) = \tan^{-1}(3.93).$$ $\tan^{-1}(3.93) \approx 75.5^\circ$. Međutim, obje su komponente negativne, pa se vektor nalazi u trećem kvadrantu (ako mislimo standardno orijentiranu os). No, zapravo to treba interpretirati: -0.173 je x-komponenta, -0.679 je y-komponenta, to je smjer prema dolje i lijevo.
     • Po apsolutnom izračunu, $\theta\approx 75.5^\circ$ je nagib prema x-osi, ali treba uvažiti orijentaciju: "ispod" minus x-osi.
     • Može se reći da je ukupni vektor $70 \,\mathrm{N}$ (oko 0.70 N) usmjeren otprilike "u smjeru jugozapad" (ako smo x-os smatrali vodoravnom, y-os okomitom).

Konačan odgovor:
Ukupna sila na $Q_3$ iznosi oko $0.70\,\mathrm{N}$. Smjer joj je u donju-lijevu kvadrantu (3. ili 4. kvadrant ovisno kako tko definira orijentaciju), a kut je otprilike $75^\circ$ u odnosu na negativnu x-osu.

Napomena: U praksi se često traži samo veličina sile i “grubi” opis smjera. Ako treba preciznija orijentacija, dobro je specificirati kut u odnosu na negativnu x-os.

---

Zadatak 3

Tekst: Imamo dva naboja $Q_1$ i $Q_2$ u dielektričkom mediju s relativnom permitivnošću $\varepsilon_r = 2.5$.

• $Q_1 = 5\,\mu\mathrm{C}$, $Q_2 = 8\,\mu\mathrm{C}$.
• Udaljenost $r = 0.20\,\mathrm{m}$.
  Odredite kolika će biti Coulombova sila ako bi isti naboj i udaljenost bili u vakuumu, a kolika je sada u danom mediju?

Rješenje (korak po korak)

1. Naboj i konstanta

   • $Q_1 = 5\times10^{-6}\,\mathrm{C}$
   • $Q_2 = 8\times10^{-6}\,\mathrm{C}$
   • $r = 0.20\,\mathrm{m}$
   • $k = 8.9875 \times 10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$
   • $\varepsilon_r = 2.5$.

2. Sila u vakuumu

   $$F_{\mathrm{vakuum}} = k\,\frac{Q_1 Q_2}{r^2} = 8.9875\times10^9 \,\times \frac{(5\times10^{-6})(8\times10^{-6})}{(0.20)^2}.$$
   • Brojnik: $(5\times10^{-6})(8\times10^{-6})= 40\times10^{-12} = 4.0\times10^{-11}$.
   • Nazivnik: $(0.20)^2= 0.04.$
   $$F_{\mathrm{vakuum}} = 8.9875\times10^9 \times \frac{4.0\times10^{-11}}{0.04} = 8.9875\times10^9 \times \left(\frac{4\times10^{-11}}{4\times10^{-2}}\right) = 8.9875\times10^9 \times 1\times10^{-9}.$$ $$= 8.9875\times10^{0} = 8.99 \,\mathrm{N} \quad(\approx).$$

   (Ovdje su male aproksimacije: $\frac{4\times10^{-11}}{4\times10^{-2}}=10^{-9}$.)

   Dakle,

   $$F_{\mathrm{vakuum}} \approx 9\,\mathrm{N}.$$

3. Sila u mediju
   U dielektriku s $\varepsilon_r=2.5$, Coulombova sila:

   $$F_{\mathrm{medij}} = \frac{1}{\varepsilon_r}\, F_{\mathrm{vakuum}} = \frac{1}{2.5}\,\times 9 \,\mathrm{N} = 3.6\,\mathrm{N}.$$

Konačan odgovor:

• U vakuumu bi sila bila oko $9\,\mathrm{N}$.
• U mediju s $\varepsilon_r=2.5$, sila se smanjuje na $\frac{1}{2.5}\approx 0.4$ puta, dakle oko $3.6\,\mathrm{N}$.

---

Zadatak 4 (malo konceptualniji)

Tekst: Zašto se u nekim pokusima, npr. s elektroskopom, vrh strelice (kazaljke) najčešće oblaže plastičnom ili nekim drugim dielektričnim materijalom, a ne vodičem? Objasnite ulogu Coulombova zakona i pojma dielektrične konstante.

Rješenje (načelno objašnjenje)

• Coulombov zakon kaže da se sila između naboja smanjuje s rastućim $\varepsilon_r$.
• Ako želimo da elektroskopska kazaljka ne gubi brzo naboj (kako bi nam pokazivala otklon duže vrijeme), želimo izolaciju — materijal s velikim električnim otporom, odnosno visokom $\varepsilon_r$.
• Plastični premaz (ili staklo ili neki polimer) sprječava “curenje” naboja s metalnog vrha, te ujedno smanjuje utjecaj vlage iz zraka. Ovo vodi stabilnijoj indikaciji.
• Dielektrična konstanta takvog premaza utječe na elektrostatske sile: ako je $\varepsilon_r$ veliko, lokalne elektrostatske sile među sitnim nabojima na rubovima mogu biti prigušene, pa je manja vjerojatnost neželjenih “iskričanja” ili otpuštanja naboja na zrak.

Iako nije numerički zadatak, nužno je razumjeti da Coulombova sila opada ako je $\varepsilon_r$ veća, i da se izoliranje dijelova vodiča (kojima ne želimo protjecanje struje) rješava primjenom materijala s odgovarajućim svojstvima.

---

Zadatak 5 (višestruki)

Tekst: Dvije kugle, svaka s nabojem $+2\,\mu\mathrm{C}$, drže se na udaljenosti $0.10\,\mathrm{m}$.

1. Izračunajte odbojnu silu između njih.
2. Kolika bi bila sila kad bi se jedna kugla “ispraznila” na pola, tj. njen naboj postao $+1\,\mu\mathrm{C}$?
3. Kolika se udaljenost preporučuje da sila ne prelazi $1\,\mathrm{N}$ za slučaj kad su oba naboja po $+2\,\mu\mathrm{C}$?

Rješenje (korak po korak)

1. Početni uvjeti:

   • $Q_1 = Q_2 = +2\,\mu\mathrm{C} = 2\times10^{-6}\,\mathrm{C}$.
   • $r = 0.10\,\mathrm{m}$.
   • $k = 8.9875\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2}$.

   (a) Sila s oba naboja $+2\,\mu\mathrm{C}$ i $r=0.10\,\mathrm{m}$

   $$F = k \frac{Q_1\,Q_2}{r^2} = 8.9875\times10^9 \times \frac{(2\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{(0.10)^2}.$$
   • Brojnik: $(2\times10^{-6})(2\times10^{-6})=4\times10^{-12}$.
   • Nazivnik: $(0.10)^2= 0.01$.
   $$F = 8.9875\times10^9 \times \frac{4\times10^{-12}}{0.01} = 8.9875\times10^9 \times (4\times10^{-10}) = 8.9875 \times 4 \times 10^{-1} = 35.95\times10^{-1} = 3.595\,\mathrm{N} \approx 3.60\,\mathrm{N}.$$

2. (b) Ako je jedan naboj sada $+1\,\mu\mathrm{C}$, a drugi ostaje $+2\,\mu\mathrm{C}$, ista udaljenost

   $$F' = k \frac{Q_1' Q_2}{r^2} = 8.9875\times10^9 \times \frac{(1\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{0.01}.$$
   • Brojnik: $(1\times10^{-6})(2\times10^{-6}) = 2\times10^{-12}.$
   $$F' = 8.9875\times10^9 \times (2\times10^{-10}) = 8.9875\times2 \times 10^{-1} = 17.975\times10^{-1} = 1.7975\,\mathrm{N}\approx 1.80\,\mathrm{N}.$$

3. (c) Kod oba naboja po $+2\,\mu\mathrm{C}$, kolika $r$ da bi sila bila $1\,\mathrm{N}$?

   $$1\,\mathrm{N} = k \frac{(2\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{r^2}.$$
   • Izoliraj $r^2$: $$r^2 = k \,\frac{(2\times10^{-6})(2\times10^{-6})}{1} = 8.9875\times10^9 \times 4\times10^{-12}.$$ $$= 8.9875\times10^9 \times 4\times10^{-12} = (8.9875\times4)\times10^{-3} = 35.95\times10^{-3} = 0.03595.$$ Dakle, $$r = \sqrt{0.03595} \approx 0.1896\,\mathrm{m}\approx 0.19\,\mathrm{m}.$$

Konačni odgovori:

1. Sila je $\approx 3.60\,\mathrm{N}$.
2. Ako se jedan naboj smanji na $+1\,\mu\mathrm{C}$, sila postaje $\approx 1.80\,\mathrm{N}$.
3. Za oba naboja od $+2\,\mu\mathrm{C}$ da bismo imali najviše $1\,\mathrm{N}$ odbojnu silu, treba ih razmaknuti na $\approx 0.19\,\mathrm{m}$.

---

Sažetak i zaključne napomene

• U ovim zadatcima vidjeli smo klasičnu primjenu Coulombova zakona — računanje sile među točkastim (ili približno točkastim) nabojima.
• Ključno je pažljivo pretvarati jedinice ($\mu\mathrm{C}$ u $\mathrm{C}$) i paziti na udaljenosti (u metrima).
• Za vektorski zbroj sila (kod više naboja) često je potrebno komponentno računanje.
• U slučaju dielektričkih medija, sila se smanjuje faktorski $\varepsilon_r$.

Ispit

Koja od sljedećih čestica ima pozitivan električni naboj?

Elektron

Neutron

Proton

Ionski elektron

Što predstavlja Coulombov zakon?

Zakon koji opisuje gravitacijske sile između tijela.

Zakon koji opisuje međudjelovanje električnih naboja.

Zakon koji definira električni otpor vodiča.

Zakon koji opisuje termičke sile u materiji.

Koja je mjerna jedinica za električnu struju?

Coulomb (C)

Volt (V)

Amper (A)

Ohm (Ω)

Kako se matematički izražava Coulombov zakon za dvije točkaste naboje $Q_1$ i $Q_2$ udaljene udaljenosti $r$?

$F = G \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$

$F = k \frac{Q_1 + Q_2}{r}$

$F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$

$F = k \frac{Q_1 - Q_2}{r^2}$

Što je dielektrična konstanta medija?

Koeficijent koji određuje brzinu svjetlosti u mediju.

Relativna permitivnost koja opisuje kako medij utiče na Coulombovu silu.

Mjera električnog otpora medija.

Koeficijent koji opisuje toplinsku vodljivost medija.

Koja od sljedećih jedinica pripada SI sustavu mjernih jedinica za elektrotehniku?

Newton (N)

Kelvin (K)

Ohm (Ω)

Joule (J)

Kako se definira električni napon?

Količina naboja koja prolazi kroz vodič u jedinici vremena.

Mjera električnog otpora vodiča.

Razlika električnih potencijala između dvije točke.

Ukupna električna energija u krugu.

Što predstavlja SI jedinicu Volt (V) u elektrotehnici?

Mjera električne struje.

Mjera električnog otpora.

Mjera električnog naboja.

Mjera električnog napona.

Kako se Coulombova sila mijenja kada se udaljenost između dva naboja udvostruči?

Fakultativno se udvostručuje.

Fakultativno se smanjuje na polovicu.

Fakultativno se smanjuje na četvrtinu.

Fakultativno ostaje ista.

Koja od sljedećih primjena Coulombova zakona nije izravna?

Proračun silnih interakcija u kondenzatorima.

Projektiranje izolatora u električnim uređajima.

Izračunavanje gravitacijskih sila između planeta.

Analiza naponskih razlika u električnim krugovima.

Što je Coulombova konstanta $k$ u Coulombovom zakonu?

Permitivnost vakuuma.

Vrijednost sile između dva naboja jednaka 1 C na udaljenosti 1 m.

Konstanta proporcionalnosti u Coulombovom zakonu.

Mjerna jedinica za električni naboj.